Analisis Numerik 1

Teknik/Metode penyelesaian permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmatik). Ciri: Adanya proses penghitungan yang berulang-ulang (iteratif). Memerlukan alat bantu komputer

1. Memerlukan pemodelan matematis dari situasi nyata.

2. Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemodelan.

3. Pembuatan algoritma dan penulisan program

Persoalan yang ada di alam:

  • Lendutan yang terjadi pada pelat lantai. (Struktur)
  • Gaya tekan air pada dinding kolam.(hidroteknik)
  • Kepadatan lalu lintas di suatu titik jalan.(Transportasi)
  • Gaya tekan tanah pada didnding turap.(Geoteknik)

SISTEM ANGKA DAN KESALAHAN

Dalam keseharian, angka digunakan berdasarkan sistem desimal. Misalnya 369 dapat
dinyatakan: 369 =3*100 + 6*10+9*1 = 3*102 + 5*101 +7*100
Angka 10 disebut basis sistem. Setiap angka bulat dapat dinyatakan
sebagai suatu polinomial basis 10 dengan koefisien integral antara 0 dan 9.

Digunakan notasi: N =(anan-1 …. a0)10=an10n
+ an10n-1 + . . . . +a0100 untuk
menyatakan setiap angka bulat dalam basis 10. Komputer membaca angka berdasarkan impuls listrik mati-hidup (on dan off). Pada komputer impuls ini
menyatakan angka berdasarkan sistem binari; yaitu sistem berbasis 2 dengan koefisien bilangan bulat 0 atau 1. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem binari adalah:

N =(anan-1 …. a0)2=an2n
+ an2n-1 + . . . . +a020 hal mana
koefisien ak adalah 0 atau 1. N merupakan polinomial berbasis 2. Komputer
menggunakan unit dasar bit menyimpan data pada memori. Bit adalah singkatan
binary digit. Bit ini hanya bisa nyala (on) atau mati (off). Untuk
mesin dengan 32 bit, kombinasi biner nyala (1) dan mati (0) disusun sebanyak 32
pada satu baris lokasi memori. Dengan demikian angka 369 dalam sistem binari.

Notasi
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
Nyala/padam
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Koef. Pangkat
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Bil. Dasar 2
20
20
20
20
20
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20

369 = 1*28
+0*27+1*26+1*25+1*24+0*23+0*22 +0*21+1*20 =256+0+64+32+16+0+0+0+1 369 =
(101110001)2 Konversi bilangan bulat berbasis � kepada berbasis 10 dapat secara
langsung dilakukan dengan menggunakan algoritma dengan koefisien:

an , an-1 ,
an-2. . . . ,a2 , a1, ao

P(x)= anXn + an-1Xn-1 + . . . . + a2X2 +a1X +a0

Dan
suatu bilangan �, maka perhitungan bilangan:

bn , bn-1 , bn-2. . . . ,b2 , b1,
bo

bn = an

bn-1 = an-1+ bn.�

bn-2= an-2 +bn-1.�

bn-3= an-3+ bn-2.�

.

.

.

bo
=a0+b1.�

dengan demikian bo =p(�) -> hasil akhir

hasil akhir contoh:

(1101)2

b3=1

b2=1+1*2=3

b1=0+3*2=6

b0= 1+6*2=13 jadi bilangan (1101)2 =13

contoh (10001)2

b4=1

b3=0+1*2=2

b2=0+2*2=4

b1=0+4*2=8

b0= 1+8*2=17 jadi bilangan (10001)2 =17

Konversi Bilangan Bulat Desimal Ke Sistem Bilangan Biner

Ada beberapa metode untuk mengkonversikan dari sistem bilangan desimal ke
sistem bilangan biner. Metode yang pertama dan paling banyak digunakan adalah
dengan cara membagi nilai 2 dan sisa setiap pembagian merupakan digit biner dari
bilangan biner hasil konversi. Metode ini disebut metode sisa (remainder
method
).

Contoh : 45 = ��2

maka : 45 : 2 = 22 + sisa 1

22 : 2 = 11 + sisa 0

11 : 2 = 5 + sisa 1

5 : 2 = 2 + sisa 1

2 : 2 = 1 + sisa 0

1 0 1 1 0 1 maka bilangan desimal 45 dalam sistem bilangan biner bernilai 101101
125 : 2 = 62 + sisa 1

62 : 2 = 31 + sisa 0

31: 2 = 15 + sisa 1

15: 2 = 7 + sisa 1

7 : 2 = 3 + sisa 1

3: 2 = 1 + sisa 1 Maka bilangan desimal 125 dalam bentuk bilangan biner adalah
1111101.

KESALAHAN (ERROR)

Sumber Kesalahan:

  • Bawaan data,
  • Pembulatan (rounding), dan
  • Pemotongan (chopping)

Bawaan data

Kekeliruan dalam memberikan data

Kesalahan dalam asumsi terhadap data

Pembulatan (rounding)

Penentuan jumlah angka di belakang koma

Misal bilangan 0.6123467 -> sebanyak 7 digit Menjadi 0.612347 -> 6 digit karena
pembatasan alokasi digit bilangan Angka signifikan

1. Merupakan angka 1 s/d 9.

2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 di abaikan

Contoh

0.0005813 ada 4 angka signifikan

0.700124 ada 6 angka signifikan

Pemotongan (chopping)

Pada angka pecahan nilai diambil sebagai angka pecahan yang dinormalisir (mis.
543.8 menjadi 0.5438(103)

Contoh:

pemotongan : X=2/3;

maka jika x=0.67 merupakan pembulatan,

jika x=0.66 merupakan pemotongan.

Kesalahan Mutlak:

Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah
perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilaii pendekatan yang diberikan,
atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran.

Kesalahan(Error)= Nilai Eksak – Nilai Perkiraan

Ee=P – P*

Dimana

Ee : Kesalahan Absolut

P : Nilai eksak

P* : Nilai Perkiraan

Kesalahan Relatif:

Kesalahan relatif adalah kesalahan mutlak dibagi terhadap nilai eksak

ξe= Ee/P atau

ξe= (P – P*)/P

Dimana

ξe : Kesalahan
relatif terhadap nilai eksak

Ee : Kesalahan Absolut

P : Nilai eksak

P*: Nilai Perkiraan

Prosentase Kesalahan

Prosentase kesalahan adalah 100 kali kesalahan relatif.


ξa=(/p*)100%

dimana: 

ξ:kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik

P*: nilai perkiraan terbaik

Dalam operasi numerik:


ξa=((P*n+1-P*n)/(P*n+1))100%

P*n: nilai perkiraan pada iterasi ke – n

P*n+1: nilai perkiraan pada iterasi ke – n+1

Kecermatan dari suatu pengukuran atau hasil perhitungan dengan angka
signifikan dari bilangan. Misalnya

-pengukuran diameter 32 mm tulangan

-pengukuran 1.60 km jalan tulangan baja diukur pada nilai terdekat pada satuan
mm. Kesalahan mutlak dari pengukuran diameter tulangan baja 0.05 mm. pengukuran
1.60 km jalan diukur terhadap nilai terdekat cm, dengan kesalahan mutlak 0.5 cm
kesalahan relatif yang terjadi: pada baja tulangan pada jalan = Latihan
Konversikan bilangan biner di bawah ke dalam desimal (111000011)2 (11010011)2
(10000011)2

Referensi:

1. Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers , McGraw-Hill.

2. Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil,
Penerbit ITB, Bandung.

3. Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset,
Yogyakarta.

~ by adhityaangga on 20 February 2009.

4 Responses to “Analisis Numerik 1”

  1. misalkan ad suatu solusi dari sistem persamaan linier, kita kan nyari eror pada solusi tersebut…
    tau ga metode2 yang berkaitan dengan eror tersebut,,
    selain penggunaan vektor eigen, runge kutta, gauss,.
    jadi ntar nyari harga pendekatan solusi tersebut, shg didapatkan eror yang se kecil mungkin..
    aq nyari2 tp bingung.
    tx

  2. ow,ow…
    what’s it?

  3. bupka’s online menyediakan buku terpakai (used books) berkualitas dan asli original dengan harga miring,banyak buku teknik. silahkan kunjungi:http://bupka.wordpress.com

    buku Analisis Numerik yg dibicarakan diatas, ada stok saat ini.
    silahkan liat2 lainnya juga.

  4. waaaa, saya coba pelajari ya🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: